Leider nichts.
Ich hatte das auch mal (bei GMX). Ich habe dann eine E-Mail an den Kundensupport von GMX geschickt und als Antwort kam, dass man da nichts machen könne. Die Mails stammten nicht aus dem echten GMX-Account, sondern es wurde lediglich die Absender-Adresse gefälscht, daher kamen jede Menge "Mailer-Daemon" Antworten an mich zurück und landeten in meinem Postfach.
Was ich dagegen getan habe? Ich habe einen Filter eingerichtet, der die Mailer-Daemon-Nachrichten ungelesen gelöscht hat. Hat prima geklappt und so wurde ich wenigstens nicht mehr belästigt. Nach ein paar Wochen/Monaten hörte es dann von alleine auf und ich konnte den Filter wieder ausschalten.
Es ist also wahrscheinlich NICHT so, dass sich jemand in deinen Account gehackt hat oder dein Passwort kennt. Es reicht ein kleines E-Mail Programm in dem man die Absender-Adresse faken kann. So kann man sich zum Beispiel als Barack Obama ausgeben und Mails aus dem "Weißen Haus" verschicken ohne dass jemand was dagegen tun könnte (abgesehen von der NSA, die das natürlich zurückverfolgen kann ;) )
@ Kapaun: Völlig überzogene Reaktion, die du hier vorschlägst.
Ich arbeite komplett ohne Outlook oder Thunderbird etc. Rufe Mails nur über den Browser ab und trotzdem ist es bei mir passiert. Es hat also null mit dem Betriebssystem oder irgendeinem Virus zu tun. Es geht nur um eine gefakte Absender-Adresse gegen die du machtlos bist. Da kannst du die Festplatte deines Rechners 500 mal formatieren, das ändert überhaupt gar nichts.
PS: Es gibt auch kostenlose Antivirensoftware, die vergleichbare Ergebnisse liefert wie teure Bezahl-Software.
PPS: Das Passwort des Mailaccounts würde ich sicherheitshalber auch mal ändern, hat bei mir aber nichts gebracht, da es keinen "Hacker" gab, der mein Passwort geknackt hat, es war lediglich die gefakte Absenderadresse und für die braucht man kein Passwort. Kann jeder mit der nötigen Software einfach so beliebig machen mit jeder E-Mail Adresse, die es gibt.